代数结构：3.环
图1 环
14.1 环的定义与性质
环：代数系统[R;+;∗][R;+;*][R;+;∗]，其中+，*为定义在RRR上的二元运算，满足下述条件，对任意a,b,c∈Ra,b,c\in Ra,b,c∈R,
+可结合、交换，且有单位元、逆元；*可结合，且满足分配率，则称[R,+,∗][R,+,*][R,+,∗]为环
即[R;+][R;+][R;+]为Abel群，[R,*]为半群
零因子：[R;+;⋅][R;+;\cdot][R;+;⋅]为环，a,b∈R，a≠0,b≠0a,b\in R，a\ne 0,b\ne0a,b∈R，a=0,b=0，但a⋅b=0a\cdot b=0a⋅b=0，称aaa为R的一个左零因子，bbb为R的一个右零因子，统称a,ba,ba,b为R的零因子。
图1中的交换与单位元，都是对第二个运算而言的，由图不难得出各种环和域的定义，不再赘述
定理1 运算规律1
[R;+,⋅][R;+,\cdot][R;+,⋅]为环，则∀a,b∈R\forall a,b\in R∀a,b∈R,有 （p175）
a⋅0=0⋅a=0a\cdot0=0\cdot a=0a⋅0=0⋅a=0(加法单位元是乘法零元)a⋅(−b)=(−a)⋅b=−(ab)a\cdot(-b)=(-a)\cdot b=-(ab)a⋅(−b)=(−a)⋅b=−(ab)
由分配律不难得出
定理2 运算规律2
[R;+,⋅][R;+,\cdot][R;+,⋅]为整环，则⋅\cdot⋅满足消去律
也是分配律，ab=ac,a(b−c)=ab−acab=ac,a(b-c)=ab-acab=ac,a(b−c)=ab−ac，又无零因子，a≠0a\ne0a=0,则b−c=0,b=cb-c=0,b=cb−c=0,b=c
14.2 子环与环同态
14.2.1 子环
子环：[S;+,⋅][S;+,\cdot][S;+,⋅]为环，S⊆R,S≠∅S\subseteq R,S\ne\varnothingS⊆R,S=∅,当[S;+,⋅][S;+,\cdot][S;+,⋅]为环时，称它为RRR的子环，S=R,S={0}S=R,S=\{0\}S=R,S={0}时称它为RRR的平凡子环，否则为非平凡子环，当S是R的真子集时，称S为R的真子环。
定理3 子环的判定
S是R的子环⟺∀a,b∈S\Longleftrightarrow\forall a,b\in S⟺∀a,b∈S:(p177),三个封闭
1.a+b∈Sa+b\in Sa+b∈S 2.−a∈S-a\in S−a∈S 3.a⋅b∈Sa\cdot b\in Sa⋅b∈S
必要性是显然的，充分性：由封闭和逆元可知[S;+]是[R;+]的子群，由3可知[S;·]封闭且满足结合律，则为半群，则S⊆RS\subseteq RS⊆R,又满足分配律，则为子环
环的中心：所有与R中的任意元素在乘法运算下可交换的那些元素全体，即C={x∣x∈R,∀a∈R,ax=xa}C=\{x|x\in R,\forall a\in R,ax=xa\}C={x∣x∈R,∀a∈R,ax=xa}
定理4：环RRR的中心CCC是它的子环(p177)
根据定理3证明即可
单位子环、特征数：[R;+,⋅][R;+,\cdot][R;+,⋅]为有单位元环，eee为其单位元，则E={ne∣n∈Z}E=\{ne|n\in Z\}E={ne∣n∈Z}称为RRR的单位子环。当∣E∣<+∞|E|\lt+\infty∣E∣<+∞,必∃m,n∈Z,m≠n,\exists m,n\in Z,m\ne n,∃m,n∈Z,m=n,使me=ne,(m−n)e=0me=ne,(m-n)e=0me=ne,(m−n)e=0，使ke=0ke=0ke=0之最小正整数称为环RRR的特征数;如果不存在这样的整数，则称该环的特征数为0，以char Rchar\ Rchar R表示RRR的特征数。
定理5 环的特征数的性质
设p为有单位元环RRR的特征数，则(p178)
对任何a≠0,pa=0a\ne 0,pa=0a=0,pa=0，而且，当RRR是整环时，ppp也是使pa=0pa=0pa=0对任何a≠0a\ne 0a=0都成立的最小非0正整数
pa=p(ea)=(pe)a=0⋅a=0pa=p(ea)=(pe)a=0\cdot a=0pa=p(ea)=(pe)a=0⋅a=0(p个a相加等于p个ea相加，再把a提出来)
当R为整环时，其特征数要么为素数要么为0
pa=(p1p2)a=(p1a)(p2e)=0pa=(p_1p_2)a=(p_1a)(p_2e)=0pa=(p1p2)a=(p1a)(p2e)=0，矛盾
14.2.2 环同态
环同态：已知环[R;+,⋅][R;+,\cdot][R;+,⋅]与[R′;∘,∗][R';\circ,*][R′;∘,∗]，若存在映射φ:R→R′,\varphi:R\rightarrow R',φ:R→R′,对任r1,r2∈Rr_1,r_2\in Rr1,r2∈R有
φ(r1+r2)=φ(r1)∘φ(r2)φ(r1r2)=φ(r1)∗φ(r2)
\begin{align*}
\varphi(r_1+r_2)&=\varphi(r_1)\circ\varphi(r_2)\\
\varphi(r_1r_2)&=\varphi(r_1)*\varphi(r_2)
\end{align*}
φ(r1+r2)φ(r1r2)=φ(r1)∘φ(r2)=φ(r1)∗φ(r2)
则称φ\varphiφ位RRR到R′R'R′的同态映射;当φ(R)=R′\varphi(R)=R'φ(R)=R′称两个环同态;当φ\varphiφ为一一对应称两个环同构;当R′⊆RR'\subseteq RR′⊆R时，称为自同态和自同构。
定理6：同态映射的相关性质
(p178)
φ(0)=0′，0\varphi(0)=0'，0φ(0)=0′，0为RRR之加法单位元，0′0'0′为R′R'R′之加法单位元。如果R和R’均为有单位元环，且e,e′e,e'e,e′分别为其单位元，当φ\varphiφ是满射或者R′R'R′为无零因子环且φ\varphiφ不是零同态(所有元素映射过去都是0’)，则φ(e)=e′\varphi(e)=e'φ(e)=e′φ(R)⊆R′\varphi(R)\subseteq R'φ(R)⊆R′必为R′R'R′的子环
推论1：若环同构，则R和R’同为整环(除环、域)
定理7 整环的自同态映射
设有整环R,char R=p(p≠0)R,char\ R =p(p\ne 0)R,char R=p(p=0)，作映射φ:R→R,∀a∈R,φ(a)=ap\varphi:R\rightarrow R,\forall a\in R,\varphi(a)=a^pφ:R→R,∀a∈R,φ(a)=ap是R的一个同态映射且a≠ba\ne ba=b 时,φ(a)≠φ(b)\varphi(a)\ne\varphi(b)φ(a)=φ(b)(p179)
在交换环中二项式定理成立，而且p是素数，不难发现(a+b)p(a+b)^p(a+b)p除了ap，bpa^p，b^pap，bp，其余各项系数都有因子p，则
(a+b)p=ap+bp,(a−b)p=ap−bp,(ab)p=apbp(a+b)^p=a^p+b^p,(a-b)^p=a^p-b^p,(ab)^p=a^pb^p(a+b)p=ap+bp,(a−b)p=ap−bp,(ab)p=apbp，再证明若a≠b,φ(a)≠φ(b)a\ne b,\varphi(a)\ne\varphi(b)a=b,φ(a)=φ(b)即可(是映射)
14.3 多项式环
**多项式环：**定义在域F上的多项式F[x]={∑i=0naixi∣i=0,⋯ ,n,ai∈F}F[x]=\{\sum^n_{i=0}a_ix^i|i=0,\cdots,n,a_i\in F\}F[x]={∑i=0naixi∣i=0,⋯,n,ai∈F}关于多项式的乘法与加法构成整环，称F[x]F[x]F[x]为域上的多项式环
定理8 多项式的余式表示
(p180)
对f(x)∈F[x],g(x)∈F[x],g(x)≠0，∃f(x)\in F[x],g(x)\in F[x],g(x)\ne 0，\existf(x)∈F[x],g(x)∈F[x],g(x)=0，∃唯一的q(x),r(x)∈F[x],deg r(x) f(x)=g(x)q(x)+r(x) f(x)=g(x)q(x)+r(x) f(x)=g(x)q(x)+r(x) 分为deg f(x) 推论2：f(x),(x−a)∈F[x]f(x),(x-a)\in F[x]f(x),(x−a)∈F[x],其中a∈Fa\in Fa∈F,则f(x)f(x)f(x)被x−ax-ax−a除的余式为f(a)f(a)f(a)。(p180) deg r(x) 推论3：f(x)∈F[x],(x−a)∣f(x)f(x)\in F[x],(x-a)|f(x)f(x)∈F[x],(x−a)∣f(x)当且仅当f(a)=0f(a)=0f(a)=0 对象式环的最大公因子：f(x),g(x),h(x)∈F[x]f(x),g(x),h(x)\in F[x]f(x),g(x),h(x)∈F[x]，当h(x)∣f(x)h(x)|f(x)h(x)∣f(x)且h(x)∣g(x)h(x)|g(x)h(x)∣g(x)称h(x)h(x)h(x)为f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)的公因子;若∀c(x)∈F[x],c(x)∣f(x)\forall c(x)\in F[x],c(x)|f(x)∀c(x)∈F[x],c(x)∣f(x)，且c(x)∣g(x)c(x)|g(x)c(x)∣g(x)时必有c(x)∣h(x)c(x)|h(x)c(x)∣h(x)，则称h(x)h(x)h(x)为f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)的最大公因子，记为h(x)=GCD(f(x),g(x))h(x)=GCD(f(x),g(x))h(x)=GCD(f(x),g(x))，或简记为(f(x),g(x))(f(x),g(x))(f(x),g(x))（p180） 最大公因子可由长除法求得，即 GCD(f(x),g(x))={f(x)(g(x)=0)GCD(g(x),f(x)mod g(x))(g(x)≠0) GCD(f(x),g(x))= \begin{cases} &f(x)&(g(x)=0)\\ &GCD(g(x),f(x)mod\ g(x))&(g(x)\ne0) \end{cases} GCD(f(x),g(x))={f(x)GCD(g(x),f(x)mod g(x))(g(x)=0)(g(x)=0) 定理9 公因数分解 (p181) 此外当h(x)=GCD(f(x),g(x))h(x)=GCD(f(x),g(x))h(x)=GCD(f(x),g(x))时，必存在s(x),t(x)∈F[x]s(x),t(x)\in F[x]s(x),t(x)∈F[x]使得 h(x)=s(x)f(x)+t(x)g(x) h(x)=s(x)f(x)+t(x)g(x) h(x)=s(x)f(x)+t(x)g(x) 一般用于GCD(f(x),g(x))=1GCD(f(x),g(x))=1GCD(f(x),g(x))=1的情况，容易得出1=s(x)f(x)+t(x)g(x)1=s(x)f(x)+t(x)g(x)1=s(x)f(x)+t(x)g(x) Extended-GCD可证明 可逆元：当a∈F[x]a\in F[x]a∈F[x]，而且存在a−1∈F[x]a^{-1}\in F[x]a−1∈F[x]，使aa−1=1aa^{-1}=1aa−1=1时，称aaa为F[x]F[x]F[x]中的可逆元，否则称为不可逆元。F[x]F[x]F[x]中可逆元全体就是F∗F^*F∗,F[x]−F∗F[x]-F^*F[x]−F∗是其不可逆元全体组成的集合。 可约多项式(类似合数的概念)：f(x)=h(x)t(x)，deg h(x),deg t(x)≥1f(x)=h(x)t(x)，deg\ h(x),deg\ t(x)\ge1f(x)=h(x)t(x)，deg h(x),deg t(x)≥1,可约多项式，若至少一个为可逆元(常数项)，则为不可约多项式，或说f(x)f(x)f(x)在域FFF上不可约 例14.9 看一下 定理10 多项式互相整除，则阶相等 FFF为域，f(x),g(x)∈F[x]f(x),g(x)\in F[x]f(x),g(x)∈F[x] f(x)∣g(x)且g(x)∣f(x)⟺f(x)=ag(x),a∈F∗ f(x)|g(x)且g(x)|f(x)\Longleftrightarrow f(x)=ag(x),a\in F^* f(x)∣g(x)且g(x)∣f(x)⟺f(x)=ag(x),a∈F∗ (P181) 由互相整除可知g(x)=f(x)f‾(x),f(x)=g(x)g‾(x)=f(x)f‾(x)g‾(x)g(x)=f(x)\overline{f}(x),f(x)=g(x)\overline{g}(x)=f(x)\overline{f}(x)\overline{g}(x)g(x)=f(x)f(x),f(x)=g(x)g(x)=f(x)f(x)g(x),故f‾(x)g‾(x)=1\overline{f}(x)\overline{g}(x)=1f(x)g(x)=1，同理g‾(x)f‾(x)=1\overline{g}(x)\overline{f}(x)=1g(x)f(x)=1,则二者可逆，f‾(x),g‾(x)∈F∗\overline{f}(x),\overline{g}(x)\in F^*f(x),g(x)∈F∗ 定理11 最大公因式同阶 在多项式环F[x]F[x]F[x]中，g1(x)=GCD(f(x),g(x))g_1(x)=GCD(f(x),g(x))g1(x)=GCD(f(x),g(x))，则 g2(x)=GCD(f(x),g(x))⟺g1(x)=ag2(x),a∈F∗ g_2(x)=GCD(f(x),g(x))\Longleftrightarrow g_1(x)=ag_2(x),a\in F^* g2(x)=GCD(f(x),g(x))⟺g1(x)=ag2(x),a∈F∗ p182，必要性由定理10立即得到，充分性 14.4 理想与商环 14.4.1 理想 理想:RRR为环，若I≠∅,I⊆RI\ne \varnothing,I\subseteq RI=∅,I⊆R,关于+,⋅+,\cdot+,⋅运算满足条件 ∀a,b∈I,a−b∈I\forall a,b\in I,a-b\in I∀a,b∈I,a−b∈I∀a∈I,r∈R,ar,ra∈I\forall a\in I,r\in R,ar,ra\in I∀a∈I,r∈R,ar,ra∈I 则称III为RRR的理想，当I≠{0}，I≠RI\ne\{0\}，I\ne RI={0}，I=R时是非平凡理想，否则是平凡理想，为真子集时，称为真理想 生成的理想 设S≠∅,S⊆RS\ne \varnothing,S\subseteq RS=∅,S⊆R,定义(S)(S)(S)为满足如下条件的最小子集： a∈Sa\in Sa∈S，则a∈(S)a\in(S)a∈(S)a,b∈S,a,b\in S,a,b∈S,则a−b∈(S)a-b \in (S)a−b∈(S)a∈S,r∈R,a\in S,r\in R,a∈S,r∈R,则ar,ra∈(S)ar,ra \in(S)ar,ra∈(S) 称(S)(S)(S)是环RRR中由SSS生成的理想。特别在S={a}S=\{a\}S={a}时，SSS即为由aaa生成的理想，记为(a)(a)(a)。 可以发现,由aaa生成的理想： 有单位元的交换环，(a)={a∗r∣r∈R}(a)=\{a*r|r\in R\}(a)={a∗r∣r∈R}无单位元的交换环，(a)={a∗r+na∣r∈R}(a)=\{a*r+na|r\in R\}(a)={a∗r+na∣r∈R} 由aaa生成的理想一定包含aaa 主理想：由环RRR中一个元素生成的理想称为该环的主理想，一个环的所有理想时主理想的环称作主理想环。 一个环的主理想(a)(a)(a)就是该环中包含aaa的最小理想 定理13 (p183) 域F上的多项式环F[x]F[x]F[x]是主理想环 设III是F[X]F[X]F[X]的任一非平凡理想，∀f(x)∈I,f(x)=p(x)q(x)+r(x)\forall f(x)\in I,f(x)=p(x)q(x)+r(x)∀f(x)∈I,f(x)=p(x)q(x)+r(x)，其中deg p(x)deg\ p(x)deg p(x)是III中最小的，那么deg r(x)=0 or deg r(x) 14.2.2 商环 由+++在环RRR上满足交换律可知，[I;+][I;+][I;+]为[R;+][R;+][R;+]的正规子群，在RRR中作III的陪集 I+r={i+r∣i∈I} I+r=\{i+r|i\in I\} I+r={i+r∣i∈I} 显然I+r=r+II+r=r+II+r=r+I。由正规子群的性质可知，对于两个陪集，总有 ∣I+r1∣=∣I+r2∣,(I+r1)∩(I+r2)=∅ or I+r1=I+r2 |I+r_1|=|I+r_2|,(I+r_1)\cap(I+r_2)=\varnothing\ or\ I+r_1=I+r_2 ∣I+r1∣=∣I+r2∣,(I+r1)∩(I+r2)=∅ or I+r1=I+r2 因此可以作R的一个商集合： R/I={I+r∣r∈R} R/I=\{I+r|r\in R\} R/I={I+r∣r∈R} 定义两个运算⊕,⊗\oplus,\otimes⊕,⊗: (I+r1)⊕(I+r2)=I+(r1+r2)(I+r1)⊗(I+r2)=I+(r1r2) (I+r_1)\oplus(I+r_2)=I+(r_1+r_2)\\ (I+r_1)\otimes(I+r_2)=I+(r_1r_2) (I+r1)⊕(I+r2)=I+(r1+r2)(I+r1)⊗(I+r2)=I+(r1r2) 类似之前的证明，可知这两个运算的运算结果域陪集代表元选取无关。 定理14 (p184) [R/I;⊕,⊗][R/I;\oplus,\otimes][R/I;⊕,⊗]是环。 由⊕,⊗\oplus,\otimes⊕,⊗定义可知分别是交换群和半群，只需验证分配律成立即可，这也是容易的 商环：[R;+,⋅][R;+,\cdot][R;+,⋅]为环，III为RRR的理想，称[R/I;⊕,⊗][R/I;\oplus,\otimes][R/I;⊕,⊗]为环RRR关于理想III的商环，简记为R/I,R−IR/I,R-IR/I,R−I 多项式环的商环 令[F[x];+,⋅][F[x];+,\cdot][F[x];+,⋅]为域FFF商的多项式环，取p(x)∈F[x],deg p(x)=n>0p(x)\in F[x],deg\ p(x)=n\gt0p(x)∈F[x],deg p(x)=n>0,则商集合为 F[x]/(p(x))={(p(x))+∑i=0n−1aixi∣ai∈F,i=0,⋯ ,n−1} F[x]/(p(x))=\{(p(x))+\sum^{n-1}_{i=0}a_ix^i|a_i\in F,i=0,\cdots,n-1\} F[x]/(p(x))={(p(x))+i=0∑n−1aixi∣ai∈F,i=0,⋯,n−1} [F[x]/(p(x));⊕,⊗][F[x]/(p(x));\oplus,\otimes][F[x]/(p(x));⊕,⊗]是F[x]F[x]F[x]关于(p(x))(p(x))(p(x))的商环(p184) 由主理想的定义有：(p(x))={p(x)h(x)∣h(x)∈F[x]}(p(x))=\{p(x)h(x)|h(x)\in F[x]\}(p(x))={p(x)h(x)∣h(x)∈F[x]},又由多项式环的相关性质，∃q(x),r(x)∈F[x]，r(x)=0 or deg r(x) g(x)=p(x)q(x)+r(x) g(x)=p(x)q(x)+r(x) g(x)=p(x)q(x)+r(x) 则r(x)=a0+a1x+⋯+an−1xn−1，ai∈F，0≤i≤n−1r(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}，a_i\in F，0\le i \le n-1r(x)=a0+a1x+⋯+an−1xn−1，ai∈F，0≤i≤n−1可以是g(x)g(x)g(x)所在陪集的代表元 环同态核：设φ:R→S\varphi:R\rightarrow Sφ:R→S时环RRR到环SSS的同态映射，0’为SSS中的加法单位元，定义集合K(φ)={x∈R∣φ(x)=0′}K(\varphi)=\{x\in R|\varphi(x)=0'\}K(φ)={x∈R∣φ(x)=0′},称为同态φ\varphiφ下的核 定理15 同态映射的同态核是源的理想 如果φ:R→S\varphi:R\rightarrow Sφ:R→S是一个环同态映射，K(φ)K(\varphi)K(φ)为其核，则K(φ)K(\varphi)K(φ)是RRR的理想 x−y∈K(φ)x-y \in K(\varphi)x−y∈K(φ)xr,rx∈K(φ)xr,rx\in K(\varphi)xr,rx∈K(φ) 定理16 环同态基本定理 如果环RRR与环SSS同态，φ\varphiφ为其同态映射，K=KerφK=Ker\varphiK=Kerφ,则R/KR/KR/K同构于SSS。 构造映射:Ψ:R/K→S\Psi:R/K\rightarrow SΨ:R/K→S,使对任意陪集K+rK+rK+r，有Ψ(K+r)=φ(r)∈S,r∈R\Psi(K+r)=\varphi(r)\in S,r\in RΨ(K+r)=φ(r)∈S,r∈R，依次证明其为映射，满射，一一对应，且满足同态关系即可(两种运算) 定理17 商不可约多项式为域 F[x]F[x]F[x]为域FFF上的多项式环，商环F[x]/(p(x))F[x]/(p(x))F[x]/(p(x))是域，当且仅当p(x)p(x)p(x)为F[x]F[x]F[x]上不可约。 必要性：假设可约，导出有零因子，矛盾 充分性：∀(p(x))+g(x)∈F[x]/(p(x))\forall (p(x))+g(x)\in F[x]/(p(x))∀(p(x))+g(x)∈F[x]/(p(x))，在(p(x))+g(x)≠0(p(x))+g(x)\ne 0(p(x))+g(x)=0时，有(p(x),g(x))=1,(p(x),g(x))=1,(p(x),g(x))=1,则∃s(x)p(x)+t(x)g(x)=1\exist s(x)p(x)+t(x)g(x)=1∃s(x)p(x)+t(x)g(x)=1,则((p(x))+t(x))⊗((p(x))+g(x))=(p(x))+1((p(x))+t(x))\otimes((p(x))+g(x))=(p(x))+1((p(x))+t(x))⊗((p(x))+g(x))=(p(x))+1,注意到1为单位元，则有逆元，是域 推论4 Zp=Z/(p)Z_p=Z/(p)Zp=Z/(p)为域当且仅当ppp为素数 否则p可约(有其他因子) 定理18 RRR为单位元交换环，且R≠{0}R\ne\{0\}R={0}，则RRR为域当且仅当RRR只有平凡理想{0}\{0\}{0}与RRR (186)