高等代数笔记：可逆矩阵
目录方阵行列式性质可逆矩阵定义伴随矩阵与可逆矩阵可逆矩阵的性质几个重要性质初等变换法
方阵行列式性质
可逆矩阵定义
定义1 对于数域K上的矩阵A，如果存在矩阵B，使得\(AB=BA=I\)，那么称A是可逆矩阵（或非奇异矩阵）.
tips：
1）A、B可交换=>可逆矩阵一定是方阵.
2）如果A是可逆矩阵，那么B唯一.
定义2 如果A是可逆矩阵，那么B为A的逆矩阵，记\(A^{-1}\).
如果A是可逆矩阵，那么
\[AA^{-1}=A^{-1}A=I,(A^{-1})^{-1}=A
\]
A可逆充要条件：\(|A|=0\)
伴随矩阵与可逆矩阵
根据行列式展开定理（参见高等代数笔记：行列式）知，
\[\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}=\begin{cases}
|A|, & k=i\\
0 & k\neq i
\end{cases}
\]
有，
\[\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\
...&...&....&...\\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1}\\
A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2}\\
...&...&....&...\\
A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
|A| & 0 & ... & 0\\
0 & |A| & ... & 0\\
... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & |A|
\end{pmatrix}
=|A|I
\]
令
\[A^*=\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1}\\
A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2}\\
...&...&....&...\\
A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn}
\end{pmatrix}
\]
称\(A^*\)为A的伴随矩阵.
于是，
\[AA^*=|A|I
\]
同理，可得\(A^*A=|A|I\)
定理1 数域K上n级矩阵A可逆的充要条件：\(|A|\neq 0\). 当A可逆时，
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*
\]
证明：必要性. 假设A可逆.
有\(AA^{-1}=I\)
∴\(|A||A^{-1}|=1\)（|AB|=|A||B|证明见高等代数笔记：矩阵运算矩阵乘积的秩部分定理2）
∴\(|A|\neq 0\)
充分性. 假设\(|A|\neq 0\)
有
\[(\frac{A^*}{|A|})A=I
\]
∴A可逆，且\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\)
矩阵\(A_{n\times n}\)可逆其他充要条件：
<=>A为满秩矩阵
<=>A的行（列）向量组线性无关
<=>A的行（列）向量组为\(K^n\)的一个基
<=>A的行（列）空间等于\(K^n\)
命题1 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果\(AB=I\)，那么A与B都是可逆矩阵，且\(A^{-1}=B,B^{-1}=A\).
证明：
∵\(AB=I\)
∴\(|AB|=|A||B|=|I|=1\)
∴\(|A|,|B|\neq 0\)
∴A,B可逆，\(A^{-1}=B,B^{-1}=A\)
可逆矩阵的性质
几个重要性质
性质1 单位矩阵I可逆，且\(I^{-1}=I\).
证明：
\[I^{-1}I=I^{-1},\space I^{-1}I=I \implies I^{-1}=I
\]
性质2 如果A可逆，那么\(A^{-1}\)也可逆，且\((A^{-1})^{-1}=A\).
证明：
∵A可逆
∴\((A^{-1})A=I\)
∴\((A^{-1})^{-1}=A\)
性质3 如果n级矩阵A、B都可逆，那么AB也可逆，且\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
证明：
\[(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=I\implies (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
\]
性质4 如果A可逆，那么A'也可逆，且\((A')^{-1}=(A^{-1})'\).
证明：
\[A'(A^{-1})'=(A^{-1}A)'=I'=I\implies (A')^{-1}=(A^{-1})'
\]
性质5 可逆矩阵经初等行变换成的简化行阶梯形矩阵一定是单位矩阵.
tips：简化行阶梯形矩阵为：1）阶梯形矩阵；2）所有的非零行第一个元素（主元）均为1，所在列其他元素都为0.
证明：
n级可逆矩阵A，经初等行变换成简化阶梯形矩阵J，那么J的非零行个数为n
∴J有n个主元
又n主元位于不同列
∴位于第1，2，...，n列，且主元所在列其余元素均为0
∴
\[J=\begin{pmatrix}
1&0&...&0\\
0&1&...&0\\
...&...&...&...\\
0&0&...&1
\end{pmatrix}
=I
\]
性质6 矩阵A可逆的充要条件：它可以表示成一些初等矩阵的乘积.
证明：必要性. 假设A可逆
由性质5知，∃初等矩阵\(P_1,P_2,...,P_k\)，使得
\(P_k...P_2P_1A=I\)
∴\(A=(P_k...P_2P_1)^{-1}=P_1^{-1}P_2^{-1}...P_k^{-1}\)
而由命题1，初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵
故必要性得证.
充分性. 假设A能表示成一些初等矩阵的乘积
∵初代矩阵可逆
∴它们的乘积也可逆，即A可逆
性质7 用一个可逆矩阵左（右）乘矩阵A，不改变A的秩.
证明：
先证左乘A. 设P为可逆矩阵
由性质6，∃初等矩阵\(P_1,P_2,...,P_k\)，使得\(P=P_1P_2...P_k\)
∴\(PA=P_1P_2...P_kA\)
PA相当于对A做一系列初等行变换，而初等行变换不改变矩阵的秩
∴\(rank(PA)=rank(A)\)
再证右乘A. 设Q为可逆矩阵，则Q'也为可逆矩阵
根据左乘结论，
\[rank(AQ)=rank[(AQ)']=rank(Q'A')=rank(A')=rank(A)
\]
初等变换法
求逆矩阵的另一个重要方法，即初等变换法.
设A是n级可逆矩阵，则∃初等矩阵\(P_1P_2...P_k\)，使得
\[P_k...P_2P_1A=I \implies P_k...P_2P_1I=A^{-1}
\]
有，
\[\begin{aligned}
A&\xrightarrow{初等行变换}I,\\
I&\xrightarrow{上面的初等行变换}A^{-1}
\end{aligned}
\]
也就是说，
\[(A,I)\xrightarrow{初等行变换}(I,A^{-1})
\]